Question

12．已知f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意的x∈R，都有f[f（x）-e^x]=1，则函数g（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{f（x）-f（-x）}$的图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 令 t=f（x）-e^x，由 f[f（x）-e^x]=f（t）=1，求得t=0，可得f（x）的解析式，从而求得g（x）的解析式，再根据函数的定义域、单调性、值域，判断函数g（x）的图象特征．

解答 解：令 t=f（x）-e^x，则f（x）=t+e^x，由题意可得 f[f（x）-e^x]=f（t）=1，
∴t+e^t=1，即 e^t=1-t，
∴t=0，即f（x）=e^x．
∴函数g（x）=$\frac{f（x）+f（-x）}{f（x）-f（-x）}$=$\frac{{e}^{x}{+e}^{-x}}{{e}^{x}{-e}^{-x}}$=$\frac{{e}^{2x}+1}{{e}^{2x}-1}$=1+$\frac{2}{{e}^{2x}-1}$ （x≠0）），故排除C、D．
∴g（-x）=-g（x），故g（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．
当x＞0时，g（x）为单调递减函数，故排除B．
∵$\frac{2}{{e}^{2x}-1}$＞0，∴g（x）＞1，
故选：A．

点评 本题主要考查求函数的解析式，根据函数的定义域、单调性、值域，判断函数的图象特征，属于中档题．