Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的中点为M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过点A与椭圆只有一个公共点的直线为l₁，过点F与AF垂直的直线为l₂，求证l₁与l₂的交点在定直线上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得，焦点为椭圆的左焦点，即F（-c，0），设弦与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分别代入椭圆方程相减可得：$-\frac{b^2}{a^2}=\frac{{{y_1}^2-{y_2}^2}}{{{x_1}^2-{x_2}^2}}$．由点M平分弦AB，弦经过焦点，利用中点坐标公式、斜率计算公式可得：$\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{{6（{c-\frac{2}{3}}）}}$，又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a²-b²=c²，解出即可得出．
（Ⅱ）设点N坐标为（x₁，y₁），由对称性，不妨设y₁＞0，由$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$得椭圆上半部分的方程为$y=\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}$，利用导数的几何意义与斜率计算公式可得：N点处的切线方程为$y-{y_1}=\frac{{-{x_1}}}{{2{y_1}}}（{x-{x_1}}）$，过F且垂直于FN的直线方程为$y=-\frac{{{x_1}+1}}{y_1}（{x+1}）$，结合$\frac{{{x_1}^2}}{2}+{y_1}^2=1$，即可得出．

解答 （Ⅰ）解：由题意得，焦点为椭圆的左焦点，即F（-c，0），
设弦与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程得$\frac{{{x_1}^2}}{a^2}+\frac{{{y_1}^2}}{b^2}=1$…①$\frac{{{x_2}^2}}{a^2}+\frac{{{y_2}^2}}{b^2}=1$…②
①式-②式，得$-\frac{b^2}{a^2}=\frac{{{y_1}^2-{y_2}^2}}{{{x_1}^2-{x_2}^2}}$…③
∵点M平分弦AB，弦经过焦点，
∴$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{2}{3}$，$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{1}{3}$，$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{\frac{1}{3}}}{{-\frac{2}{3}+c}}$，
代入③式得，$-\frac{b^2}{a^2}=\frac{{\frac{2}{3}×\frac{1}{3}}}{{-\frac{4}{3}×（{-\frac{2}{3}+c}）}}$，即$\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{{6（{c-\frac{2}{3}}）}}$，
又∵$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a²-b²=c²，∴${c^2}={b^2}=\frac{1}{2}{a^2}$，∴$\frac{1}{2}=\frac{1}{{6（{c-\frac{2}{3}}）}}$，
即c=1，$a=\sqrt{2}$，∴椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）证明：设点A坐标为（x₁，y₁），由对称性，不妨设y₁＞0，
由$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$得椭圆上半部分的方程为$y=\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}$，$y'=\frac{1}{2}•\frac{1}{{\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}}•（{-x}）=\frac{-x}{{2\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}}$，
∴${k_切}=\frac{{-{x_1}}}{{2\sqrt{1-\frac{{{x_1}^2}}{2}}}}=\frac{{-{x_1}}}{{2{y_1}}}$，
∴A点处的切线方程为$y-{y_1}=\frac{{-{x_1}}}{{2{y_1}}}（{x-{x_1}}）$…①
过F且垂直于FA的直线方程为$y=-\frac{{{x_1}+1}}{y_1}（{x+1}）$…②
由①②两式，消去y得${y_1}=-\frac{{{x_1}+1}}{y_1}（{x+1}）+\frac{x_1}{{2{y_1}}}•（{x-{x_1}}）$…③
其中$\frac{{{x_1}^2}}{2}+{y_1}^2=1$，代入③式，可得x=-2
∴点P在定直线x=-2上

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交相切问题、“差点法”、导数的几何意义、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．