Question

设等差数列的首项为1,公差为(N^*),为数列中的项.

(1) 若,试判断的展开式中是否含有常数项,并说明理由;

(2) 求证:存在无穷多个,使得对每一个, 的展开式中均不含常数项

Answer 1

证明:(1) 因为是首项为1,公差为3的等差数列,所以

假设的展开式中的第项为常数项(),

,于是,

因为为数列中的项.所以设 (),则有,

即,这与矛盾.

所以假设不成立,即的展开式中不含常数项.

(2) 由题设知,设,

由(1)知,要使对每一个, 的展开式中均不含常数项,

必须有对于n∈N^*,满足中的r无自然数解,

即.

当d=3k(k∈N^*)时, .

故存在无穷多个d,满足对每一个m, 的展开式中均不含常数项.