Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x+1

（a∈R）．
（1）当a=

9

2

时，如果函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点，求实数k的取值范围；
（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：由题意得，由函数的零点转化为函数的极值与0的大小关系，如果可以借助数学结合思想的话，还可以看作函数图象与X轴的交点的个数的问题．

解答： 解：（1）当a=

9

2

时，g（x）=lnx+

9

2(x+1)

-k，
g'（x）=

1

x

-

9

2(x+1)2

=

2x2-5x+2

2x(x+1)2

=0
解方程得方程的根为：x₁=2，x₂=

1

2

 由g（x）定义域可知x＞0；
∵当0＜x＜

1

2

时  g'（x）＞0，g（x）增函数，
当

1

2

＜x＜2时  g'（x）＜0，g（x）减函数，
当x＞2时     g'（x）＞0，g（x）增函数，
∴f（x）的极大值是f(

1

2

)=3-ln2，极小值是f(2)=

3

2

+ln2
∴g（x）在x=

1

2

处取得极大值3-ln2-k，在x=2处取得极小值

3

2

+ln2-k；
∵函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点
∴当3-ln2-k＜0或

3

2

+ln2-k＞0时g（x）仅有一个零点，
∴k的取值范围是k＞3-ln2或k＜

3

2

+ln2．
（2）当a=2时，f(x)=lnx+

2

x+2

，定义域为（0，+∞），
令h(x)=f(x)-1=lnx+

2

x+1

-1，
∵h′(x)=

1

x

-

2

(x+1)2

=

x2+1

x(x+1)2

＞0
∴h（x）在（0，+∞）是增函数 
∵h（1）=0
∴①当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；
   ②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；
   ③当x=1时，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．

点评：此题考查了：函数零点的存在性定理；利用导数求函数的单调性和极值的一般步骤．