Question

2．已知函数$f（x）=4sinx•cos（x-\frac{π}{3}）-\sqrt{3}$
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）∵$f（x）=4sinx•cos（x-\frac{π}{3}）-\sqrt{3}$=$4sinx•（\frac{1}{2}cosx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx）-\sqrt{3}$=$2sinx•cosx+2\sqrt{3}{sin^2}x-\sqrt{3}$
=$sin2x+2\sqrt{3}•\frac{1-cos2x}{2}-\sqrt{3}$=$sin2x-\sqrt{3}cos2x$=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
所以，函数f（x）的最小正周期是$\frac{2π}{2}=π$．
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，
可得函数的减区间为[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．