Question

定义域为[a，b]的函数y=f（x）的图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b（0≤λ≤1），向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，其中O为坐标原点，若不等式|

MN

|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x+

1

x

在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（　　）

• A、[

  3

  2

  -

  2

  ，+∞）
• B、[

  3

  2

  +

  2

  ，+∞）
• C、[0，+∞）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：平面向量及应用

分析：先得出M、N横坐标相等，再将恒成立问题转化为求函数的最值问题．

解答： 解：由题意，M、N横坐标相等，|

MN

|≤k恒成立，即|

MN

|max≤k，
由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，

5

2

），
∴直线AB方程为y=

1

2

（x+3）
∴|

MN

|═|y₁-y₂|=|x+

1

x

-

1

2

（x+3）|=|

x

2

+

1

x

-

3

2

|，
∵

x

2

+

1

x

≥2

x 2 × 1 x

=

2

，且

x

2

+

1

x

≤

3

2

，
∴|

MN

|=|

x

2

+

1

x

-

3

2

|=

3

2

-（

x

2

+

1

x

）≤

3

2

-

2

，
即|

MN

|的最大值为

3

2

-

2

，
∴k≥

3

2

-

2

．
故选A．

点评：本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略．