Question

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆相交于不同的两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存直线，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

本试题主要考查了椭圆的方程和性质的和运用。第一问中，利用待定系数法求解椭圆的标准方程即可。结合椭圆的离心率为，且经过点可得
（2）中假设存在直线满足条件，由题意可设直线的方程为，联立方程组
结合韦达定理可知且，即，
所以 ，解得.
因为，解得．
所以最终得到k=1/2.
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意得
解得，，故椭圆的方程为． ……………………5分
（Ⅱ）若存在直线满足条件，由题意可设直线的方程为，
由得.
因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，
所以.
整理得.
解得．
又，，
且，即，
所以 . 即 .
所以 ，解得.
所以．于是存在直线满足条件，其的方程为.  ………………13分