Question

如图，A，B分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右顶点，F为其右焦点，2是|AF|与|FB|的等差中项，

3

是|AF|与|FB|的等比中项．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ垂直于AP，并交直线l于点Q．证明：Q，P，B三点共线．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）F（1，0），|AF|=a+c，|BF|=a-c．由2是|AF|与|FB|的等差中项，

3

是|AF|与|FB|的等比中项．联立

(a-c)+(a+c)=4 (a-c)(a+c)=( 3 )2

，及其b²=a²-c²．解得即可．（2）直线l的方程为：x=-2，直线AP的方程为：y=k（x+2）（k≠0），与椭圆方程联立化为（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，利用根与系数的关系可得x_P=

6-8k2

3+4k2

，y_P=k（x_P+2）．由于QF⊥AP，可得k_PF=-

1

k

．直线QF的方程为：y=-

1

k

(x-1)，把x=-2代入上述方程可得Q(-2，

3

k

)．只有证明k_PQ=k_BQ，即可得出B，P，Q三点共线．

解答： （1）解：F（1，0），|AF|=a+c，|BF|=a-c．由2是|AF|与|FB|的等差中项，

3

是|AF|与|FB|的等比中项．
∴

(a-c)+(a+c)=4 (a-c)(a+c)=( 3 )2

，解得a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）证明：直线l的方程为：x=-2，直线AP的方程为：y=k（x+2）（k≠0），
联立

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

，化为（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
∴xA+xP=-

16k2

3+4k2

，
∴x_P=

6-8k2

3+4k2

，∴y_P=k（x_P+2）=

12k

3+4k2

，
∵QF⊥AP，∴k_PF=-

1

k

．
直线QF的方程为：y=-

1

k

(x-1)，
把x=-2代入上述方程可得y_Q=

3

k

，
∴Q(-2，

3

k

)．
∴k_PQ=

12k 3+4k2 - 3 k

6-8k2 3+4k2 +2

=-

3

4k

，k_BQ=

3 k -0

-2-2

=-

3

4k

．
∴k_PQ=k_BQ，
∴B，P，Q三点共线．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、三点共线与斜率的关系、等差数列与等比数列的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．