Question

15．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的焦距为2c，直线l：y=kx-kc，若当$k=\sqrt{3}$时，直线l与双曲线的左右两支各有一个交点；且当$k=\sqrt{15}$时，直线l与双曲线的右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（2，4）．

Answer 1

分析 由题意可知双曲线的渐近线斜率$\frac{b}{a}$∈（$\sqrt{3}$，$\sqrt{15}$），根据e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，即可求得双曲线的离心率的取值范围．

解答 解：由题意可知：直线l：y=k（x-c）过焦点F（c，0）．
双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
可得双曲线的渐近线斜率$\frac{b}{a}$∈（$\sqrt{3}$，$\sqrt{15}$），
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$，
由3＜$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＜15，4＜1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$＜16，
∴2＜e＜4，
∴双曲线离心率的取值范围为（2，4）．
故答案为：（2，4）．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用渐近线方程，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．