Question

20．已知函数f（x）=bsinx-ax²+2a-eb，g（x）=e^x，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）当a=0时，讨论函数F（x）=f（x）g（x）的单调性；
（2）求证：对任意a∈[$\frac{1}{2}$，1]，存在b∈（-∞，1]，使得f（x）在区间[0，+∞）上恒有f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，得到sinx+cosx-e＜0，从而求出函数的单调性即可；
（2）问题转化为证明任意x∈[0，+∞），six-ax²+2a-e＜0，设g（a）=sinx-ax²+2a-e=（-x²+2）a+sinx-e，看作以a为变量的一次函数，结合三角函数的性质证明即可．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=e^x（sinx-e），
则f′（x）=e^x（sinx-e+cosx），
∵sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$＜e，
∴sinx+cosx-e＜0，
故f′（x）＜0，
则f（x）在R递减；
（2）证明：当x≥0时，y=e^x≥1，
要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0，
则只需证明任意x∈[0，+∞），six-ax²+2a-e＜0，
设g（a）=sinx-ax²+2a-e=（-x²+2）a+sinx-e，
看作以a为变量的一次函数，
要使sinx-ax²+2a-e＜0，
则$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）＜0}\\{g（1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{sinx-{\frac{1}{2}x}^{2}+1-e＜0①}\\{sinx{-x}^{2}+2-e＜0②}\end{array}\right.$，
∵sinx+1-e＜0恒成立，
∴①恒成立，
对于②，令h（x）=sinx-x²+2-e，
则h′（x）=cosx-2x，
设x=t时，h′（x）=0，即cost-2t=0，
∴t=$\frac{cost}{2}$＜$\frac{1}{2}$，sint＜sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）递增，
在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）递减，
则x=t时，h（x）取得最大值h（t）=sint-t²+2-e
=sint-${（\frac{cost}{2}）}^{2}$+2-e=${（\frac{sint}{2}+1）}^{2}$+$\frac{3}{4}$-e≤${（\frac{5}{4}）}^{2}$+$\frac{3}{4}$-e=$\frac{27}{16}$-e＜0，
故②成立，
综上，在区间[0，+∞）上恒有f（x）＜0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，是一道综合题．