Question

5．已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AN}=y\overrightarrow{AC}$，x，y∈R⁺，则x+y的最小值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 M，G，N三点共线，存在m，使$\overrightarrow{AG}$=m$\overrightarrow{AM}$+（1-m）$\overrightarrow{AN}$=mx$\overrightarrow{AB}$+（1-m）y$\overrightarrow{AC}$，又G是△ABC的重心，可得$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，结合基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵M，G，N三点共线，
∴存在m，使$\overrightarrow{AG}$=m$\overrightarrow{AM}$+（1-m）$\overrightarrow{AN}$=mx$\overrightarrow{AB}$+（1-m）y$\overrightarrow{AC}$，
又∵G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=mx$\overrightarrow{AB}$+（1-m）y$\overrightarrow{AC}$，
∴mx=$\frac{1}{3}$，（1-m）y=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}$=1，即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=3．
∴x+y=（x+y）$•\frac{1}{3}（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）$=$\frac{1}{3}（2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}）$≥$\frac{1}{3}（2+2\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}）$=$\frac{4}{3}$，当且仅当x=y=$\frac{2}{3}$时取等号．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了、向量共线对立、三角形重心性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．