Question

（本题满分12分）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC．

（1）求证：平面MOE∥平面PAC；

（2）求证：平面PAC⊥平面PCB；

（3）设二面角M－BP－C的大小为θ，求cosθ的值．

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，

所以OE∥PA．

因为PA平面PAC，OE?平面PAC，

所以OE∥平面PAC．

因为OM∥AC，

又AC平面PAC，OM?平面PAC，

所以OM∥平面PAC．

因为OE平面MOE，OM平面MOE，OE∩OM＝O，

所以平面MOE∥平面PAC． 4分

（2）因为点C在以AB为直径的⊙O上，

所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC．

因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

所以PA⊥BC．

因为AC平面PAC，PA平面PAC，PA∩AC＝A，

所以BC⊥平面PAC．

因为BC平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC． 9分

（3）如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C－xyz．

因为∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，

所以CB＝2cos30°＝，AC＝1．

延长MO交CB于点D．

因为OM∥AC，

所以MD⊥CB，MD＝1＋＝，CD＝CB＝．

所以P（1,0,2），C（0,0,0），B（0，，0），M（，，0）．

所以＝（1,0,2），＝（0，，0）．

设平面PCB的法向量＝（x，y，z）．

因为 即

令z＝1，则x＝－2，y＝0．

所以＝（－2,0,1）．

同理可求平面PMB的一个法向量 ＝（1，，1）．

所以cos〈，〉＝＝－．所以cosθ＝． 12分

考点：本题考查面面平行的判定，面面垂直的判定，二面角的求法