Question

设函数f（x）=lnx-px+1
（1）若当x=2时，f（x）取得极值，求p的值，并求f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x＞0，恒有f（x）≤0，求p的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（I）先求函数的定义域，对函数求导，分别解f′（x）＞0，f′（x）＜0
（II）求函数g（x）的最大值，对任意的x＞0，恒有g（x）≤0?g（x）_max≤1，代入求解p的取值范围．

解答： 解：f′（x）=

1

x

-p，x＞0，
（1）若当x=2时，f（x）取得极值，
∴f′（2）=0，即

1

2

-p=0，p=

1

2

，
p=

1

2

时，f′（x）=

1

x

-

1

2

，（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得：x＞2，
∴f（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减；
（2）x＞0时，若f（x）=lnx-px+1≤0，
∴p≥

lnx+1

x

，
设g（x）=

lnx+1

x

，
∴g′（x）=-

lnx

x2

，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，
∴g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴g（x）_max=g（1）=1，
∴p的范围是：[1，+∞）．

点评：本题考查了导数的应用：求函数的单调区间，求函数的极值，在求解中不能忽略了对函数定义域的判定，当函数中含有参数时，要注意对参数的分类讨论，本题又考查了函数的恒成立问题，这也是高考在导数部分的重点考查的知识点．