题目内容

3.已知方程2x2+3x-1=0的一非零实根是x1,ax2+3x-1=0(a≠0)的一非零实根是x2.函数f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$-x+3在(x1,x2)有且仅有一个极值点,则a的取值范围是[-$\frac{9}{4}$,0)∪(0,1].

分析 由函数f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$-x+3在(x1,x2)有且仅有一个极值点,得到f'(x)=x2+3x-1在(x1,x2)有且仅有一解,根据零点存在定理即可求出a的范围.

解答 解:∵2x2+3x-1=0的一非零实根是x1,ax2+3x-1=0(a≠0)的一非零实根是x2
∵f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$-x+3,
∴f'(x)=x2+3x-1,
∵函数f(x)=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$-x+3在(x1,x2)有且仅有一个极值点
∴f'(x)=x2+3x-1在(x1,x2)有且仅有一解,
∴f′(x1)•f′(x2)=(x12+3x1-1)(x22+3x2-1)
=(2x12+3x1-1-x12)[ax22+3x2-1-(a-1)x22]=-(1-a)x12x22≤0,
∴1-a≥0,
∴a≤1,
又△=9+4a≥0,
∴$a≥-\frac{9}{4}$,
∴$-\frac{9}{4}≤a≤1$,
∵a≠0,
∴a的取值范围为[-$\frac{9}{4}$,0)∪(0,1],
故答案为:[-$\frac{9}{4}$,0)∪(0,1],

点评 本题考查了导数和函数的极值的关系以及函数零点存在定理,考查了学生的运算能力,属于中档题.

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