Question

8．在△ABC中，∠B=45°，AC=$\sqrt{5}$，cosC=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，求
（1）BC的长
（2）若点D是AB的中点，求中线CD的长度．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的关系和两角和的正弦公式，算出sinA=sin（B+C），再正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$的式子，即可解出BC的长；
（2）利用余弦定理算出c=2．设CD=x，根据余弦定理关于三角形中线的定理建立关于x的方程，解得x=$\frac{5}{2}$，即得AB边的中线CD的长．

解答 解：（1）设三角形三个内角A，B，C所对的边为a，b，c．
∵cosC=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$+$\frac{\sqrt{10}}{10}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{2}$；
故BC=2$\sqrt{2}$．
（2）∵由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC，
∴c²=8+5-2×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{5}$×$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$=1，可得c=1，
设中线CD=x，则有
∵AB²+（2CD）²=2（BC²+AC²），即c²+4x²=2（a²+b²）
∴4x²=2（a²+b²）-c²=2（8+5）-1=25，解之得x=$\frac{5}{2}$．
即AB边的中线CD的长等于$\frac{5}{2}$．

点评 本题给出三角形的两角和一条边，求一条边和一条中线的长．着重考查了同角三角函数关系、两角和的正弦公式和正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．