Question

16．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BF}$=0，则此双曲线的离心率为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得AB⊥BF推导出∠ABF=90°，再由射影定理得b²=ca，由此能求出该双曲线的离心率．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BF}$=0，
即AB⊥BF，∴∠ABF=90°，
由射影定理得OB²=OF•OA，
∴b²=ca，
又∵c²=a²+b²，
∴c²=a²+ca，
∴a²+ca-c²=0，
∴1+e-e²=0，
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或e=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍），
故答案为：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．