Question

18．如图所示，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都为1，且E、F分别为AB，PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求直线AF与直线CE所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF∥平面PCE．
（2）求出向量$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{CE}$，利用向量法能求出直线AF与直线CE所成角．

解答 （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得A（1，0，0），F（0，0，$\frac{1}{2}$），P（0，0，1），C（0，1，0），E（1，$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{AF}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PE}$=（1，$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1），
设平面PEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=x+\frac{1}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{2}，1，1$），
∵$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}$=0，且AF?平面PEC，
∴AF∥平面PCE．
（2）解：∵$\overrightarrow{AF}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CE}$=（1，-$\frac{1}{2}$，0），
设直线AF与直线CE所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{CE}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{CE}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{\frac{5}{4}}•\sqrt{\frac{5}{4}}}$|=$\frac{4}{5}$，
∴$θ=arccos\frac{4}{5}$．
∴直线AF与直线CE所成角为arccos$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．