Question

【题目】已知两个定点，， 动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线：.

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）若是直线上的动点，过作曲线的两条切线QM、QN，切点为、，探究：直线是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，定点为

【解析】

（1）设点的坐标为，由列出方程化简求解即可；
（2）说明都在以为直径的圆上，是直线上的动点，设，圆的圆心为，且经过坐标原点，可表示出圆的方程，将其与曲线联立，推出直线的方程，然后可解得直线是过的定点．

（1）由题，设点的坐标为，

因为，即，

整理得，

所以所求曲线的轨迹方程为．

（2）依题意，，则都在以为直径的圆上，

是直线上的动点，设，

则圆的圆心为，且经过坐标原点，

即圆的方程为，

又因为在曲线上，

由，可得，

即直线的方程为，

由且，可得，解得，

所以直线过定点．