Question

17．已知函数f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（5α+$\frac{5}{3}$π）=-$\frac{6}{5}$，f（5β-$\frac{5}{6}$π）=$\frac{16}{17}$，求sinα，cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式ω=$\frac{2π}{10π}$=$\frac{1}{5}$解出参数ω的值；
（2）由题设条件，可先对f（5α+$\frac{5}{3}$π）=-$\frac{6}{5}$，f（5β-$\frac{5}{6}$π）=$\frac{16}{17}$，进行化简，即可求sinα，cosβ的值．

解答 解：（1）由题意，函数f（x）=2cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π
所以ω=$\frac{2π}{10π}$=$\frac{1}{5}$，即ω=$\frac{1}{5}$；
（2）因为α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（5α+$\frac{5}{3}$π）=-$\frac{6}{5}$，f（5β-$\frac{5}{6}$π）=$\frac{16}{17}$，
分别代入得2cos（α+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{6}{5}$，所以sinα=$\frac{3}{5}$；
2cosβ=$\frac{16}{17}$，所以cosβ=$\frac{8}{17}$．

点评 本题考查了三角函数的周期公式，同角三角函数的基本关系，属于三角函数中有一定综合性的题，属于中档题．