Question

13．已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列四个说法，其中正确说法是（　　）

• A． 若|f（x₁）|=|f（x₂）|，则x₁=x₂+kπ（k∈Z）
• B． f（x）在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上单调递增
• C． 函数f（x）的周期为π
• D． f（x）的图象关于点$（-\frac{π}{2}，0）$成中心对称

Answer 1

分析 若|f（x₁）=|f（x₂）|，即|$\frac{1}{2}$sin2x₁|=|$\frac{1}{2}$sin2x₂|，列举反例x₁=0，x₂=$\frac{π}{2}$时也成立；由二倍角公式化简，再根据正弦函数的单调性判断；根据函数周期性的定义判断；由函数f（x）=|cosx|•sinx，可得函数是奇函数．

解答 解：若|f（x₁）=|f（x₂）|，即|$\frac{1}{2}$sin2x₁|=|$\frac{1}{2}$sin2x₂|，则x₁=0，x₂=$\frac{π}{2}$时也成立，故A不正确；
在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，f（x）=|cosx|•sinx=$\frac{1}{2}$sin2x，单调递增，故B正确；
∵f（π+x）=|cos（π+x）|•sin（π+x）=|-cosx|•（-sinx）=-f（x）≠f（x），∴函数f（x）的周期不是π，故C不正确；
∵函数f（x）=|cosx|•sinx，∴函数是奇函数，
∴f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称，而f（x$+\frac{π}{2}$）=|cos（x+$\frac{π}{2}$）|•sin（x+$\frac{π}{2}$）=|sinx|•cosx
≠f（x），∴点（-$\frac{π}{2}$，0）不是函数的对称中心，故D不正确．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假性判断，以及三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用，属于中档题．