Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞1}\\{1-{x}^{3}，x≤1}\end{array}\right.$，若函数y=f（x）-a（x-1）恰有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{3}{4}$，0）
• B． （-∞，-$\frac{3}{4}$）
• C． （-3，-$\frac{3}{4}$）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 画出函数的图象，①当直线y=a（x-1）与曲线y=lnx相切于点（1，0）时，a=1，推出直线y=a（x-1）与函数f（x）的图象恰有3个交点时a的范围；②当直线y=a（x-1）与曲线y=1-x³相切时，设切点为（x₀，1-x₀³），通过$\left\{\begin{array}{l}{a（{x}_{0}-1）=1-{{x}_{0}}^{3}}\\{a=-3{{x}_{0}}^{2}}\end{array}\right.$，求出x₀=1，a=-3或x₀=-$\frac{1}{2}$，a=-$\frac{3}{4}$，然后判断求解a的范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞1}\\{1-{x}^{3}，x≤1}\end{array}\right.$的图象如图所示，

①当直线y=a（x-1）与曲线y=lnx相切于点（1，0）时，a=1，
故当a=0或a≥1时，直线y=a（x-1）与函数f（x）的图象恰有一个交点，
当0＜a＜1时，直线y=a（x-1）与函数f（x）的图象恰有两个交点，
②当直线y=a（x-1）与曲线y=1-x³相切时，设切点为（x₀，1-x₀³），则$\left\{\begin{array}{l}{a（{x}_{0}-1）=1-{{x}_{0}}^{3}}\\{a=-3{{x}_{0}}^{2}}\end{array}\right.$，
∴-3x₀²（x₀-1）=1-x₀³，解得x₀=1，a=-3或x₀=-$\frac{1}{2}$，a=-$\frac{3}{4}$，
当-$\frac{3}{4}＜a＜0$时，直线y=a（x-1）与函数f（x）的图象恰有一个交点，
当a=-$\frac{3}{4}$或a≤-3时，直线y=a（x-1）与函数f（x）的图象恰有两个交点，
当-3＜a＜-$\frac{3}{4}$时，直线y=a（x-1）与函数f（x）的图象恰有三个交点，
故选：C．

点评 本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力．