Question

已知a∈R，函数f(x)＝＋lnx－1，g(x)＝(lnx－1)e^x＋x(其中e为自然对数的底数)．

(1)讨论函数f(x)在(0，e]上的单调性；

(2)是否存在实数x₀∈(0，＋∞)，使曲线y＝g(x)在点x＝x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

(3)若实数m，n满足m＞0，n＞0，求证：nⁿe^m≥mⁿeⁿ．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)∵，，∴． 　　①若，则，在上单调递增； 　　②若，当时，，函数在区间上单调递减， 　　当时，，函数在区间上单调递增， 　　③若，则，函数在区间上单调递减． 　　(2)解：∵，， 　　， 　　由(1)易知，当时，在上的最小值：，即时，． 　　又，∴． 　　曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解． 　　而，即方程无实数解．故不存在． 　　(3)证明： 　　，由(2)知，令得．