题目内容
【题目】已知抛物线
的顶点在坐标原点，准线方程为
，
为抛物线的焦点，点
为直线
上任意一点，以为圆心，
为半径的圆与抛物线的准线交于
、
两点，过、分别作准线的垂线交抛物线于点
、
.
（1）求抛物线的方程；
（2）证明：直线
过定点，并求出定点的坐标.
【答案】（1）
；（2）证明见解析，定点
.
【解析】
（1）设抛物线
的标准方程为
，根据抛物线的准线方程可求得
的值，由此可求得抛物线的方程；
（2）设点
的坐标为
，求出圆的方程，与直线
方程联立，可得出关于
、
的二次方程，并设点
、
，可列出韦达定理，并求得直线
的方程，进而可求得直线所过定点的坐标.
（1）设抛物线的标准方程为，
依题意，
，抛物线的方程为；
（2）
，设
，则
，
，
于是圆的方程为
，
令，得
，①
设、，由①式得
，
，②
直线的斜率为
，
则直线的方程为
，
代入②式就有
，
因为上式对
恒成立，故
，即直线过定点.
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