Question

【题目】已知.

（1）当时，求证：；

（2）若有三个零点时，求的范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】分析：（1）令，，，利用导数可得在上单调递减，，从而可得结论; （2）有三个零点等价于有三个零点，当时，当时，可得是单调函数，至多有一个零点，不符合题意，当时，利用导数研究函数的单调性，根据单调性，结合函数图象可得的范围是.

详解：（1）证明：，

令，，，

，

在上单调递减，，

所以原命题成立.

（2）由 有三个零点可得

有三个零点，

，

①当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；

②当时，恒成立，可得至多有一个零点，不符合题意；

③当时，记得两个零点为，，不妨设，且，

时，；时，；时，

观察可得，且，

当时，；单调递增，

所以有，即，

时，，单调递减，

时，单调递减，

由（1）知，，且，所以在上有一个零点，

由，且，所以在上有一个零点，

综上可知有三个零点，

即有三个零点，

所求的范围是.