题目内容
设函数y=
在R+上单调递减，证明：对任意的x1，x2∈R+，f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）．
| f(x) |
| x |
考点：函数单调性的性质
专题：不等式的解法及应用
分析：根据函数的单调性以及利用不等式的性质，即可证明不等式．
解答：
解：∵x1，x2∈R+，
∴x1＜x1+x2，x2＜x1+x2，
∵函数y=
在R+上单调递减，
∴
＞
，
＞
，
则f(x1)＞
，f(x2)＞
，
则f(x1)+f(x2)＞
+
=
?f(x1+x2)=f(x1+x2)，
∴f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）成立．
∴x1＜x1+x2，x2＜x1+x2，
∵函数y=
| f(x) |
| x |
∴
| f(x1) |
| x1 |
| f(x1+x2) |
| x1+x2 |
| f(x2) |
| x2 |
| f(x1+x2) |
| x1+x2 |
则f(x1)＞
| x1f(x1+x2) |
| x1+x2 |
| x2f(x1+x2) |
| x1+x2 |
则f(x1)+f(x2)＞
| x1f(x1+x2) |
| x1+x2 |
| x2f(x1+x2) |
| x1+x2 |
| x1+x2 |
| x1+x2 |
∴f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）成立．
点评：本题主要考查不等式的证明，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．
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