Question

10．如图1，在高为2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=5，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F．已知DE=1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADE-BCF，如图2．
（Ⅰ）若AF⊥BD，证明：△BDE为直角三角形；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若DE∥CF，求三棱锥B-ACD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得四边形ABEF是正方形，且边长为2，取BE与AF的交点为O，推导出AF⊥BE，AF⊥BD，从而AF⊥平面BDE，进而AF⊥DE，再由AE⊥DE，得DE⊥平面ABEF，从而DE⊥BE，由此能证明△BDE为直角三角形．
（Ⅱ）取AC中点G，连结OG、DG，由三棱锥B-ACD的体积V_B-ACD=V_E-ACD，V_E-ACD=V_A-CDE，由此能求出三棱锥B-ACD的体积．

解答 证明：（Ⅰ）由已知得四边形ABEF是正方形，且边长为2，
在图2中，取BE与AF的交点为O，则AF⊥BE，
由已知得AF⊥BD，BE∩BD=B，∴AF⊥平面BDE，
又DE?平面BDE，∴AF⊥DE，
又AE⊥DE，AE∩AF=A，∴DE⊥平面ABEF，
又BE?平面ABEF，∴DE⊥BE，
∴△BDE为直角三角形．
解：（Ⅱ）如图，取AC中点G，连结OG、DG，
则OG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CF$，由已知得DE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CF$，
∴OG$\underset{∥}{=}$DE，则四边形DEOG为平行四边形，∴OE∥GD，即BE∥GD，
又BE?平面ACD，GD?平面ACD，∴BE∥平面ACD，
故三棱锥B-ACD的体积V_B-ACD=V_E-ACD，
∵AE⊥DE，AE⊥EF，∴AE⊥平面CDEF，即AE⊥平面CDE，
∴AE为三棱锥A-CDE的高，
∴V_E-ACD=V_A-CDE=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDE}×AE$=$\frac{1}{3}×{S}_{△DEF}×AE$，
由${S}_{△DEF}=\frac{1}{2}×DE×EF=\frac{1}{2}×1×2=1$，
得${V}_{A-CDE}=\frac{1}{3}×1×2=\frac{2}{3}$，
∴三棱锥B-ACD的体积为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查三角形为直角三角形的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．