Question

如图，以椭圆

x2

a2

+y2=1的右焦点F₂为圆心，1-c为半径作圆F₂（其中c为已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．
（Ⅰ）若a=

5

4

，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；
（Ⅱ）设圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OA⊥OB，且|PT|≥

3

2

（a-c）恒成立，求直线l被圆F₂所截得弦长的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）通过a=

5

4

，求出c，得到椭圆的方程，P为椭圆的右顶点，利用勾股定理直接求切线长|PT|；
（Ⅱ）当|PF₂|取得最小值时|PT|取得最小值，|PF₂|_min=a-c，通过|PT|≥

3

2

(a-c)恒成立，求出

3

4

≤c＜1，然后得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通过韦达定理以及OA⊥OB，可得直线l的方程，通过圆心F₂（c，0）到直线l的距离，半径，弦长满足勾股定理，然后求解s的最大值．

解答： （本题满分15分）
解：（I）由a=

5

4

得c=

3

4

，…（1分）
则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c=

1

2

，
故此时的切线长|PT|=

|PF2|2-(1-c)2

=

3

4

…（5分）
（Ⅱ）当|PF₂|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF₂|_min=a-c，
由|PT|≥

3

2

(a-c)恒成立，得

(a-c)2-(1-c)2

≥

3

2

(a-c)，则

3

4

≤c＜1…（7分）
由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入

x2

a2

+y2=1

得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x1+x2=

2a2k2

a2k2+1

，x1x2=

a2k2-a2

a2k2+1

，…（9分）
可得y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=

k2(1-a2)

a2k2+1

，
又OA⊥OB，则x1x2+y1y2=

k2-a2

a2k2+1

=0⇒k=a
可得直线l的方程为ax-y-a=0，…（11分）
圆心F₂（c，0）到直线l的距离d=

|ac-a|

a2+1

，半径r=1-c
则直线l被圆F₂所截得弦长s=2

(1-c)2- a2(1-c)2 a2+1

=

2(1-c)

c2+2

，…（13分）
设1-c=t，则0＜t≤

1

4

，
又

1

s

=

1

2

3 t2 - 2 t +1

=

1

2

3( 1 t - 1 3 )2+ 2 3

则当t=

1

4

时

1

s

的最小值为

41

2

，
即当c=

3

4

时s的最大值为

2 41

41

…（15分）

点评：本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系的应用，切线方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．