Question

18．已知圆C：x²+y²-6x-8y+20=0，过原点O作圆C的两条切线，切点分别设为P，Q，
（1）求切线的方程；
（2）求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （1）求出圆心坐标和半径，利用点C到切线的距离为d=$\frac{{|{3k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{5}$，求出k，即可求切线的方程；
（2）直角三角形中使用边角关系求出cosα，二倍角公式求出cos∠PO₁Q，三角形PO₁Q中，用余弦定理求出|PQ|．

解答 解：（1）由已知得圆的方程为：（x-3）²+（y-4）²=5，圆心C（3，4），
设切线：y=kx，即kx-y=0，点C到切线的距离为d=$\frac{{|{3k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{5}$，
化简得4k²-24k+11=0，解得$k=\frac{11}{2}，k=\frac{1}{2}$，
∴切线的方程为y=$\frac{11}{2}$x或y=$\frac{1}{2}$x；
（2）圆x²+y²-6x-8y+20=0 可化为 （x-3）²+（y-4）² =5，
圆心（3，4）到原点的距离为5．故cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠PO₁Q=2cos²α-1=-$\frac{3}{5}$，
∴|PQ|²=（$\sqrt{5}$）²+（$\sqrt{5}$）²+2×（$\sqrt{5}$）²×$\frac{3}{5}$=16．∴|PQ|=4

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，以及用余弦定理求边长．