Question

8．在矩形ABCD中，已知AB=1，AD=$\sqrt{3}$，若将△ABD沿BD所在直线翻折，使得二面角A-BD-C的大小为60°，则AD与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 取BD中点O，连结AO、CO，则∠AOC=60°，且AO=OC=AC=1，过A作AE⊥平面BCD，交OC=E，连结DE，则E为CO中点，∠ADE是AD与平面BCD所成角，由此能求出AD与平面BCD所成角的正弦值．

解答 解：∵在矩形ABCD中，AB=1，AD=$\sqrt{3}$，
∴BD=AO=2，
∵将△ABD沿BD所在直线翻折，使得二面角A-BD-C的大小为60°，
∴取BD中点O，连结AO、CO，则∠AOC=60°，且AO=OC=AC=1，
过A作AE⊥平面BCD，交OC=E，连结DE，则E为CO中点，
∴∠ADE是AD与平面BCD所成角，
∵AD=$\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠ADE=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$．
∴AD与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．