Question

4．如图所示，底面积不同的甲、乙圆柱形轻质容器，分别盛有密度为ρ_甲、ρ_乙两种液体，且甲中液体的质量m_甲大于乙中液体的质量m_乙．现将体积相同，质量、密度为m_A、m_B、ρ_A、ρ_B的A、B两球分别浸没在甲、乙两容器的液体中（无液体溢出），若甲容器对地面的压强等于乙容器中液体对容器底部的压强，则下列关系式一定成立的是（　　）

• A． ρ_A＜ρ_B
• B． ρ_A＜ρ_乙
• C． m_A＜m_B
• D． ρ_甲＜ρ_B

Answer 1

分析 由图可知，甲乙容器的底面积和液体深度的关系，根据m=ρV=ρSh和m_甲＞m_乙得出两液体密度和深度乘积之间的关系，A、B两球分别浸没在甲、乙两容器的液体中时，排开液体的体积和自身的体积相等，根据V=Sh表示出液体深度的变化，根据甲容器对地面的压强等于乙容器中液体对容器底部的压强得出等式，然后根据两液体密度和深度乘积之间的关系、容器的底面积关系得出ρ_A、ρ_乙关系，再根据A、B两球在甲、乙液体中浸没的情况进行讨论，最后根据浮沉条件得出答案．

解答 解：由图可知，S_甲＜S_乙，h_甲＞h_乙，
因m=ρV=ρSh，且m_甲＞m_乙，
所以，ρ_甲S_甲h_甲＞ρ_乙S_乙h_乙＞ρ_乙S_甲h_乙，
整理可得：ρ_甲h_甲＞ρ_乙h_乙，
设A、B两球的体积为V，则m_A=ρ_AV，m_B=ρ_BV，
B球浸没在乙容器后，乙液体上升的深度△h=$\frac{V}{{S}_{乙}}$，
因甲容器对地面的压强等于乙容器中液体对容器底部的压强，
所以，$\frac{（{m}_{甲}+{m}_{A}）g}{{S}_{甲}}$=ρ_乙g（h_乙+△h），
即$\frac{（{ρ}_{甲}{S}_{甲}{h}_{甲}+{ρ}_{A}V）g}{{S}_{甲}}$=ρ_乙g（h_乙+$\frac{V}{{S}_{乙}}$），
整理可得：ρ_甲h_甲-ρ_乙h_乙=$\frac{{ρ}_{乙}V}{{S}_{乙}}$-$\frac{{ρ}_{A}V}{{S}_{甲}}$=$\frac{（{ρ}_{乙}{S}_{甲}-{ρ}_{A}{S}_{乙}）V}{{S}_{乙}{S}_{甲}}$＞0，
所以，ρ_乙S_甲＞ρ_AS_乙＞ρ_AS_甲，
故ρ_乙＞ρ_A，故B正确；
因A、B两球浸没在甲、乙两液体中时，可能是由于物体的密度和液体的密度关系造成的，也可能是借助其它工具（如细针等）按到液体中造成的，
所以，当是由于物体的密度和液体的密度关系造成的时，
ρ_甲≤ρ_A＜ρ_乙≤ρ_B，
则ρ_A＜ρ_B，故A错误；
当借助其它工具（如细针等）按到液体中造成的时，
ρ_甲＞ρ_A，ρ_乙＞ρ_B，
则A、B的密度无法确定，两者的质量关系无法确定，故C错误；
同理，甲液体的密度和B球的密度无法确定，故D错误．
故选B．

点评 本题考查了浮沉条件、密度公式和固体压强公式、液体压强公式的综合应用，灵活的应用公式变形是解题的关键．