Question

6．轻质杠杆AB可绕O转动，OA：OB=1：2，用绳子将A点和一个圆柱形物体相连，物体的底面积为100cm²，物体浸没在一个底面积为200cm²的盛水的圆柱形容器里，在B点施加一个方向竖直向下的拉力F，当拉力F=9N时，物体的上表面与水面刚好相平，水面到容器底的距离为20cm，此时杠杆也恰好水平平衡，如图所示，缓慢增加拉力，物体上升，液面随之下降，当物体上升6cm时，物体恰好完全露出水面，此时杠杆与水平方向成θ角（ρ_水=1.0×10³kg/m³ ，g=10N/kg）．
（1）物体完全浸没时，水对容器底部的压强；
（2）物体离开水后，水面下降的高度和物体的体积；
（3）保持拉力方向不变，要将物体完全拉出液体，拉力的最小值为多少？

Answer 1

分析 （1）当拉力F=9N时，物体的上表面与水面刚好相平，知道水面到容器底的距离，根据p=ρgh求出水对容器底部的压强；
（2）当物体上升6cm时，物体恰好完全露出水面，则排开水体积的减少量和圆柱体的体积相等，根据体积公式得出等式即可求出水面下降的高度，进一步求出圆柱体的高度，利用体积公式求出圆柱体的体积；
（3）当拉力F=9N时，杠杆恰好水平平衡，根据杠杆的平衡条件求出绳子对A点的拉力，也是绳子对圆柱体的拉力，根据阿基米德原理求出圆柱体受到的浮力，圆柱体的重力等于绳子的拉力和受到的浮力之和；保持拉力方向不变，要将物体完全拉出液体，根据相似三角形的边长关系可知，杠杆力臂的比值不变，当绳子对A的作用力等于圆柱体的重力时，此时的拉力是能将物体拉出液体的最小拉力，根据杠杆的平衡条件求出最小拉力．

解答 解：（1）物体完全浸没时，水对容器底部的压强：
p=ρgh=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.2m=2×10³Pa；
（2）当物体上升6cm时，物体恰好完全露出水面，设水面下降的高度为△h，
因排开水体积的减少量和圆柱体的体积相等，
所以，△hS_容器=（h_上+△h）S_圆柱体，即△h×200cm²=（6cm+△h）×100cm²，
解得：△h=6cm，
圆柱体的高度：
h_圆柱体=h_上+△h=6cm+6cm=12cm，
物体的体积：
V_圆柱体=S_圆柱体h_圆柱体=100cm²×12cm=1200cm³；
（3）当拉力F=9N时，杠杆恰好水平平衡，根据杠杆的平衡条件可得：
F•OB=F_A•OA，
则绳子对A点的拉力：
F_A=$\frac{OB}{OA}$F=2×9N=18N，
即绳子对圆柱体的拉力为18N，
圆柱体受到的浮力：
F_浮=ρgV=1.0×10³kg/m³×10N/kg×1200×10^-6m³=12N，
圆柱体的重力：
G=F_A+F_浮=18N+12N=30N，
保持拉力方向不变，要将物体完全拉出液体，由相似三角形的边长关系可知，杠杆力臂的比值不变，
当绳子对A的作用力等于圆柱体的重力时，此时的拉力是能将物体拉出液体的最小拉力，
由杠杆的平衡条件可得：
G•OAcosθ=F_小•OBcosθ，
解得：F_小=$\frac{OA}{OB}$G=$\frac{1}{2}$×30N=15N．
答：（1）物体完全浸没时，水对容器底部的压强为2×10³Pa；
（2）物体离开水后，水面下降的高度为6cm，物体的体积为1200cm³；
（3）保持拉力方向不变，要将物体完全拉出液体，拉力的最小值为15N．

点评 本题考查了液体压强公式、阿基米德原理、杠杆平衡条件等应用，理解物体上升6cm时水减少的体积和圆柱体的体积相等是关键，难点是（3）中拉力最小值的判断．