Question

20．如图所示，圆柱形容器中盛有水．现将一质量为0.5千克的正方体物块放入容器中，液面上升了2厘米．此时正方体物块有一半露出水面．已知容器的横截面积与正方体横截面积之比为2：1，g取10牛/千克，容器壁厚不计．求：
（1）物块对容器底的压强．
（2）若再缓缓向容器中注入水，至少需要加多少水，才能使物块对容器底的压强为零．

Answer 1

分析 （1）容器内水的体积加上正方体物块一半的体积等于后来水的深度乘以容器的底面积，据此求出正方体的边长，进一步得出物块排开水的体积，根据阿基米德原理求出物块受到的浮力，物块的重力减去受到的浮力即为物块对容器底部的压力，利用p=$\frac{F}{S}$求出物块对容器底的压强；
（2）物块对容器底的压强为零时，处于漂浮状态，受到的浮力和自身的重力相等，根据阿基米德原理求出排开水的体积，根据V=Sh求出液面上升的高度，进一步求出需加的水的体积．

解答 解：（1）设容器的横截面积为S₂，正方体的横截面积为S₁，正方体的边长为a，容器内水的深度为h_水，放入物体后的深度（h_水+2cm），则
h_水S₂+$\frac{1}{2}$a×S₁=（h_水+2cm）S₂，
整理可得：
a=$\frac{2{S}_{2}}{{S}_{1}}$×2cm=$\frac{2×2{S}_{1}}{{S}_{1}}$×2cm=8cm，
则V_排=S₁×$\frac{1}{2}$a=a²×$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{2}$×（8cm）³=256cm³=2.56×10^-4m³，
物块受到的浮力：
F_浮=ρ_水gV_排=1.0×10³kg/m³×10N/kg×2.56×10^-4m³=2.56N，
物块的重力：
G=mg=0.5kg×10N/kg=5N，
物块对容器底部的压力：
F_压=G-F_浮=5N-2.56N=2.44N，
受力面积：
S₁=a²=（8cm）²=64cm²=0.0064m²，
物块对容器底的压强：
p=$\frac{{F}_{压}}{{S}_{1}}$=$\frac{2.44N}{0.0064{m}^{2}}$=381.25Pa；
（2）物块对容器底的压强为零时，处于漂浮状态，
则F_浮′=G，
根据F_浮=ρ_水gV_排可得物块排开水的体积：
V_排′=$\frac{{F}_{浮}^{′}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{5N}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=5×10^-4m³，
液面上升的高度：
△h′=$\frac{{V}_{排}^{′}}{{S}_{1}}$-$\frac{a}{2}$=$\frac{5×1{0}^{-4}{m}^{3}}{0.0064{m}^{2}}$-$\frac{8cm}{2}$=0.078125m-4cm=7.8125cm-4cm=3.8125cm，
需加的水的体积：
V=（S₂-S₁）△h′=（2S₁-S₁）△h′=S₁△h′=64cm²×3.8125cm=244cm³．
答：（1）物块对容器底的压强为381.25Pa；
（2）若再缓缓向容器中注入水，至少需要加244cm³的水，才能使物块对容器底的压强为零．

点评 本题考查了压强和液体体积的计算，涉及到阿基米德原理和压强公式、重力公式的应用，要注意物块对容器底的压强为零时可认为物块没离开容器的底部．