Question

13．合肥某开发区新建了两片住宅区：A区、B区（如图），现在要从煤气主管道的一个地方建立一个接口，同时向这两个小区供气．为了找到一条最短路线（即从A到煤气管道和从煤气管道到B的总路程最短），可以将煤气管道MN看成一个平面镜，从A点作出一条光线经MN反射后恰能通过B点，请你证明入射点O即为最短路线的接口．

Answer 1

分析 本题为数学上的最短路线问题，由平面镜的成像特点知，像与物关于镜面对称，且像是由光的反射光线的延长线形成的，作出A点关于天然气管道MN对称点A′，连接A′B，交天然气管道MN于点O，即为最短路线的接口，再完成路线图．

解答 解：
如图1所示，做A关于天然气管道MN对称点A′，连接A′B与天然气管道MN相交于点O，则最短路线为由A到O再到B．
若在天然气管道MN上任意取一点O′，连接AO′、O′B，如图2所示．
因为A、A′关于天然气管道MN对称，所以天然气管道MN是AA′的垂直平分线，所以O′A′=O′A，OA′=OA．
则OA+OB=OA′+OB=A′B
O′A+O′B=O′A′+O′B＞A′B（三角形的两边之和大于第三边）
所以O′A+O′B＞OA+OB
因此，图1所示为最短路线节省管道，即入射点O即为最短路线的接口．

点评 此题主要考查了考查了有关最短路程问题，其中用到了平面镜成像的特点的知识．本题利用了平面镜成像的特点作图．平面镜成的像与物关于镜面对称．