Question

11．一个竖直放置在水平桌面上的圆柱形容器，内装某种液体．将体积为V的金属块A挂在弹簧测力计下并浸没在该液体中（A与容器底未接触）．金属块A静止时，弹簧测力计的示数为F．将木块B放入该液体中，静止后木块B露出液面的体积与其总体积之比为7：12，把金属块A放在木块B上面，木块B刚好没入液体中，如图所示．若已知金属块A的体积与木块B的体积之比为13：24，求：
（1）金属块A受到的浮力；
（2）金属块A的重力；
（3）木块B的重力；
（4）如图所示时木块B的浮力；
（5）求F与V的关系；
（6）金属块A的密度．

Answer 1

分析 （1）将木块B放入该液体中时漂浮，根据阿基米德原理和密度公式、重力公式得出等式得出B物体的密度和液体密度之间的关系；
将木块B放入该液体中静止后木块仍漂浮，再根据阿基米德原理和密度公式、重力公式得出等式结合两者的体积关系求出物体A的密度和液体密度之间的关系，利用称重法表示出物体A浸没在该液体中时的浮力即可求出金属块A的密度；
（2）再由阿基米德原理、密度、公式计算A的浮力、重力、B的浮力等．

解答 解：
将木块B放入该液体中时漂浮，
由F_浮=ρgV_排和ρ=$\frac{m}{ρ}$、G=mg可得：
F_浮=G_木，即ρ_液gV_B（1-$\frac{7}{12}$）=ρ_BV_Bg
解得：ρ_B=$\frac{5}{12}$ρ_液，
把金属块A放在木块B上面时，A、B漂浮，则
F_浮′=G_A+G_B，
即ρ_液gV_B=ρ_AV_Ag+ρ_BV_Bg=ρ_AV_Ag+$\frac{5}{12}$ρ_液V_Bg，
整理可得：ρ_液V_B=ρ_AV_A+$\frac{5}{12}$ρ_液V_B，
已知：V_A：V_B=13：24，
所以ρ_液V_B=ρ_A×$\frac{13}{24}$V_B+$\frac{5}{12}$ρ_液V_B，
解得：ρ_液=$\frac{13}{14}$ρ_A，
金属块A挂在弹簧测力计下并浸没在该液体中静止时，弹簧测力计的示数为F，
根据称重法可得：
F_浮A=G_A-F，
即：F_浮A=ρ_液gV_A=$\frac{13}{14}$ρ_A×gV_A=ρ_AV_Ag-F，
解得：ρ_A=$\frac{14F}{Vg}$．
则ρ_液=$\frac{13}{14}$ρ_A=$\frac{13}{14}$×$\frac{14F}{Vg}$=$\frac{13F}{Vg}$．
因此：
（1）金属块A浸没时受到的浮力：F_浮A=ρ_液gV_A=$\frac{13}{14}$ρ_AgV=$\frac{13F}{Vg}$×gV=13F；
（2）金属块A的重力：G_A=m_Ag=ρ_AV_Ag=$\frac{14F}{Vg}$×Vg=14F；
（3）木块漂浮时：G_木=F_浮=ρ_液gV_B（1-$\frac{7}{12}$）=$\frac{13F}{Vg}$×g×$\frac{24}{13}$V×（1-$\frac{7}{12}$）=10F；
（4）木块在图中浸没时受到的浮力：F_浮′=G_A+G_B=14F+10F=24F；
（5）由以上分析可得整体受力为：
ρ_液V_Bg=ρ_液V_Ag+F+$\frac{5}{12}$ρ_液V_Bg，即：$\frac{7}{12}$ρ_液V_Bg=ρ_液V_Ag+F；
因为V_A：V_B=13：24，
所以$\frac{7}{12}$ρ_液×$\frac{24}{23}$V_Ag=ρ_液V_Ag+F，
则F=$\frac{{ρ}_{液}gV}{13}$．
（6）金属块的密度为：ρ_A=$\frac{{m}_{A}}{V}$=$\frac{14F}{Vg}$．

点评 本题考查了密度的计算，涉及到阿基米德原理、物体浮沉条件和重力公式，根据浮沉条件得出AB密度和液体密度之间的关系是关键．