Question

14．某科技小组的同学们制作了一个多档位电热器模型．为了分析接入电路的电阻对电热器的电功率的影响，他们将电表接入电路中，其电路图如图所示．当只闭合开关S₁时，电压表的示数为U₁，电阻R₃消耗的电功率为P₃；当只闭合开关S₂时，电压表的示数为U₂，电阻R₃消耗的电功率为P′₃，测得此时电阻R₂消耗的电功率为1.6W．已知2U₁=U₂，P₃=4P′₃，电源两端电压保持不变．则R₁：R₂=1：4；当开关S₁、S₂、S₃都闭合时，电路消耗的电功率最大，这个最大值为18 W．

Answer 1

分析 （1）只闭合S₁时R₁和R₃串联，只闭合S₂时R₂和R₃串联，根据P=I²R表示出电阻R₃消耗的电功率结合比值求出两电流关系，根据欧姆定律表示出电压表的示数，结合电流关系即可求出电阻R₁与电阻R₂的比值；
（2）根据电压不变时，通过的电流与电阻成反比，得出三个电阻间的关系，根据欧姆定律求出只闭合S₂时电路中的电流大小，根据P=I²R表示出此时的R₂的电功率，得出电源电压U与R₂的关系；
当S₁、S₂、S₃都闭合时，R₁和R₂并联，此时电路中的总电阻最小，电路的总功率最大，根据并联电路的电压特点和P=$\frac{{U}^{2}}{R}$ 表示出R₁和R₂的电功率，两者之和即为最大总功率．

解答 解：（1）只闭合S₁时，R₁和R₂串联，等效电路图如图1所示；只闭合S₂时，R₂和R₃串联，等效电路图如图2所示．

因P=I²R，且P₃：P₃′=4：1，
$\frac{{P}_{3}}{{P′}_{3}}=\frac{{{I}_{1}}^{2}{R}_{3}}{{{{I}_{2}}^{2}R}_{3}}=（\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}）^{2}$=$\frac{4}{1}$，$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}=\frac{2}{1}$，因I=$\frac{U}{R}$，且U₁：U₂=1：2，所以$\frac{{U}_{1}}{{U}_{2}}=\frac{{{I}_{1}R}_{1}}{{{I}_{2}R}_{2}}=\frac{2}{1}×\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}=\frac{1}{4}$
（2）因电源的电压不变，通过导体电流与电阻成反比，$\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}=\frac{{R}_{2}{+R}_{3}}{{R}_{1}{+R}_{3}}=\frac{{4R}_{1}{+R}_{3}}{{R}_{1}{+R}_{3}}=\frac{2}{1}$，
解得：R₃=2R₁，所以，R₂=4R₁=2R₃，
图2中：I₂=$\frac{U}{{R}_{2}{+R}_{3}}=\frac{U}{{R}_{2}+0．{5R}_{2}}=\frac{2U}{{3R}_{2}}$，P₂=I₂²R₂=$（\frac{2U}{{3R}_{2}}）^{2}{×R}_{2}=\frac{4}{9}\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$=1.6W，
即 $\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$=3.6W，
当S₁、S₂、S₃都闭合时，R₁和R₂并联，此时R_总最小，电路的总功率最大．

因并联电路中各支路两端的电压相等，所以，电路消耗的最大功率为
P=P₁+P₂′=$\frac{{U}^{2}}{{R}_{1}}+\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}=\frac{{U}^{2}}{0.2{5R}_{2}}+\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}=5\frac{{U}^{2}}{{R}_{2}}$=5×3.6W=18W．
答：（1）电阻R₁与电阻R₂的比值为1：4；
（2）当S₁、S₂、S₃都闭合时，电路消耗总功率最大，最大为18W．

点评 弄清三种情况下电路的连接形式，结合已知的几个等式2U₁=U₂，P₃=4P₃′，从R₂消耗的电功率为1.6W为突破口，是解决本题的关键，属于压轴题．