Question

14．如图所示，一质量均匀分布的长方体浸没在密度为ρ_液的液体中．已知长方体的高为h，底面积大小为S，上表面所处深度为h₁，下表面所处深度为h₂．
（1）分析说明长方体前后两表面所受合力的大小；
（2）结合本题，根据问题所受浮力产生的原因，推证阿基米德定理．

Answer 1

分析 （1）根据液体压强公式p=ρgh即可计算出液体对这个长方体前表面和后表面的压强，然后利用压强公式的变形公式F=pS即可求出液体对这个长方体前表面和后表面的压力大小，然后可知所受合力的大小．
（2）根据压强公式的变形公式F=pS、浮力公式F_浮=ρgV_排，推导即可得出结论．

解答 解：（1）由液体压强公式p=ρgh得，液体对这个长方体前表面的压强为p₁=ρ_液gh₂，
因长方体的前后两表面面积S′相同，
由p=$\frac{F}{S}$可得，液体对这个长方体前表面的压力F₁=p₁S′=ρ_液gh₂S′；
液体对这个长方体后表面的压强为：p₂=ρ_液gh₂，则液体对这个长方体后表面的压力F₂=p₂S′=ρ_液gh₂S′．
由此可得，F₁=F₂，由于长方体前后两表面所受力的方向相反，故合力为0．
（2）证明：
由液体压强公式p=ρgh得，液体对这个长方体上表面的压强为p₁=ρ_液gh₁，则液体对这个长方体上表面的压力F₁=p₁S=ρ_液gh₁S；
液体对这个长方体下表面的压强为：p₂=ρ_液gh₂，则液体对这个长方体下表面的压力F₂=p₂S=ρ_液gh₂S．
长方体在液体中所受压力的合力（上下压力差）F=F₂-F₁=ρ_液gh₂S-ρ_液gh₁S=ρ_液gS（h₂-h₁）=ρ_液gSh=ρ_液gV_物，其合力的方向是竖直向上；
长方体浸没在此液体中所受浮力的大小F_浮=ρ_液gV_排，因为是全部浸没，所以V_物=V_排．
所以长方体在液体中所受压力的合力（上下压力差）其与长方体浸没在此液体中所受浮力的大小相等，即F_浮=ρ_液gV_排．

点评 本题考查了：液体压强公式p=ρgh、压强公式的变形公式F=pS、浮力公式F_浮=ρgV_排，推导证明过程，是一道基础题．