Question

15．如图所示，长为L、密度为ρ的均匀细棒下端系一根细线，细线的另一端被拴在杯底A点处，细棒竖直浸没在杯中的液体内，液体密度为ρ₀（ρ₀=4ρ），现打开杯底阀门k，使液体缓慢流出，当细棒露出液面一定长度时，细棒有可能倾斜，则该长度的最小值是多少？

Answer 1

分析 由图可知：以细棒的下端为支点，细棒是否倾斜取决于重力和浮力；根据细棒在重力和浮力的作用判断出细棒的可能转动情况，然后利用杠杆平衡条件求出细棒刚刚倾斜时的细棒浸在水中的长度，最后即可求出露出液面的长度．

解答 解：设细棒的横截面积为S，细棒浸在水中的长度为L_浸，当细棒露出液面一定长度时，细棒有可能倾斜，如图所示，则细棒AB为一根杠杆，B点为支点，

则重力G的力臂为L₁=$\frac{1}{2}$Lsinθ，浮力F_浮的力臂为L₂=$\frac{1}{2}$L_浸sinθ，
当细棒露出较少时，有GL₁＜F_浮L₂，细棒竖直浸没在杯中的液体内．
当细棒露出较多时，有GL₁＞F_浮L₂，细棒将继续倾斜．
因此当GL₁=F_浮L₂，细棒将开始倾斜．
则：ρgLS×$\frac{1}{2}$Lsinθ=ρ₀gL_浸S×$\frac{1}{2}$L_浸sinθ，
即：ρL²=ρ₀L_浸²，
所以，L_浸=$\sqrt{\frac{ρ}{{ρ}_{0}}}$×L=$\sqrt{\frac{ρ}{4ρ}}$×L=$\frac{1}{2}$L，
则细棒露出水面长度的最小值为：L_露=L-L_浸=L-$\frac{1}{2}$L=$\frac{1}{2}$L．
答：该长度的最小值是$\frac{1}{2}$L．

点评 本题杠杆平衡条件和浮力的属于实际应用，关键是找到与之对应的物理模型，考查了学生分析问题与构建模型的能力．