Question

9．如图所示，A、B 是两个完全相同的薄壁柱形金属容器，质量均为0.5kg，底面积为0.01m²，容器高50cm，分别装有2.0×10^-3m³的水和3.0×10^-3m³的酒精，置于水平桌面上（ρ_酒精=0.8×10³kg/m³）．求：
（1）水对容器底的压力和压强是多大；
（2）B容器对水平桌面的压强；
（3）依据题意，是否有可能出现下述情境：当两个容器中的液体在增大同一深度△h后，容器中的液体对底部的压强能够达到P_水＞P_酒精？请通过计算△h说明判断理由．

Answer 1

分析 （1）根据公式h=$\frac{V}{S}$计算水的深度，然后利用液体压强公式p=ρ_液gh计算水对容器底的压强，再利用p=$\frac{F}{S}$计算水对容器底的压力；
（2）利用G=mg和$ρ=\frac{m}{V}$求出B容器的总重力，对水平桌面的压力等于酒精和容器的总重力，又知容器底面积，即接触面积，再利用p=$\frac{F}{S}$计算B容器对水平桌面的压强；
（3）知道容器的底面积以及水和酒精的体积，可分别求出水和酒精的深度，又知道容器的高，在不超过容器高的前提下，我们可以设液体增大的深度为△h，利用液体压强的公式列出不等式，求出△h的大小，即可最终做出判断．

解答 解：（1）容器中水的深度：
h_水=$\frac{V}{S}$=$\frac{2.0×1{0}^{-3}{m}^{3}}{0.01{m}^{2}}$=0.2m；，
水对容器底的压强：
p_水=ρ_液gh₁=1.0×10³kg/m³×10N/kg×0.2m=2000Pa；
由p=$\frac{F}{S}$可得，水对容器底的压力：
F=pS=2000Pa×0.01m²=20N；
（2）由$ρ=\frac{m}{V}$可得，B容器中酒精的质量：
m_酒精=ρ_酒精×V_酒精=0.8×10³kg/m³×3.0×10^-3m³=2.4kg，
G_酒精=m_酒精g=2.4kg×10N/kg=24N，
G_容器=m_容器g=0.5kg×10N/kg=5N，
B容器对水平桌面的压力：
F′=G_总=G_酒精+G_容器=24N+5N=29N，
B容器对水平桌面的压强：
p′=$\frac{F′}{S}$=$\frac{29N}{0.01{m}^{2}}$=2900Pa；
（3）酒精的深度：h_酒精=$\frac{{V}_{酒精}}{S}$=$\frac{3×1{0}^{-3}{m}^{3}}{0.01{m}^{2}}$=0.3m，
水对容器底的压强：p_水=ρ_水gh_水，
酒精对容器底的压强：p_酒精=ρ_酒精gh_酒精，
若增大同一深度，当p_水＞p_酒精时，
则，ρ_水g（h_水+△h）＞ρ_酒精g（h_酒精+△h）
△h＞$\frac{{ρ}_{酒精}{h}_{酒精}-{ρ}_{水}{h}_{水}}{{ρ}_{水}-{ρ}_{酒精}}$=$\frac{0.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×0.3m-1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}×0.2m}{1.0×1{0}^{3}kg/{m}^{3}-0.8×1{0}^{3}kg/{m}^{3}}$=0.2m，
当△h＞0.2m时，酒精液面的高度＞0.3m+0.2m=0.5m，
将超出容器的高度，
所以，不可能达到p_水＞p_酒精．
答：（1）水对容器底的压力和压强分别20N、2000Pa；
（2）B容器对水平桌面的压强为2900Pa；
（3）当两个容器中的液体在增大同一深度△h后，容器中的液体对底部的压强不可能达到p_水＞p_酒精．因为此时添加酒精后的高度将超出容器的高度．

点评 （1）要掌握底面积、高和体积的关系；
（2）压强的计算关键是要分清是固体压强，还是液体压强，再选择不同的公式来进行计算；
（3）本题的难点是找准突破口．算出液体一开始的深度，再设出加入液体的深度△h，通过列出不等式进行计算比较，可判断是否符合题目的要求，难度较大．