Question

3．如图所示，一面镜子挂在竖直的墙壁上，镜前的水平地面上站着一个身高为h的人，设为ABC，A为人的头顶，B为人眼，AB=l，C为人脚，此人通过镜子的下端恰能看到自己的脚C，通过镜子上端恰能看到自己的头顶A，则镜子的下边缘离地的高度是多少？镜长至少为多少？（要求画出光路图并计算）

Answer 1

分析 （1）根据平面镜成像特点可知，物体与像关于平面镜对称．先做出脚尖C关于平面镜的对称点（脚尖的像）C′，连接像点和人的眼睛，与平面镜交于点O，连接CO，
（2）根据平面镜成像特点可知，物体与像关于平面镜对称．分别找出头顶、眼睛和脚在平面镜中的像，根据平面镜成像特点画图，结合三角形中位线可计算得平面镜长应为人身高的一半．
（2）根据图（2）结合三角形中位线定理，求得OD的长度即可．

解答 解：（1）先做出脚尖C关于平面镜的对称点C′，即脚尖在平面镜中成的像，连接像点C′和人的眼睛B，与平面镜交于O，连接CO就是入射光线，OB为反射光线，A、B、C分别表示人的头顶、眼睛和脚的位置．EO为平面镜位置，

由平面镜成像特点可确定A′C′B′为ACB的像，因为BE=EA′，所以BE=$\frac{1}{2}$BA′，
BO=$\frac{1}{2}$BC′，EO=$\frac{1}{2}$A′C′，AC=A′C′=h，
EO为平面镜的最小长度，AC为人的身高，这就是镜的长应为人身高的一半．
（3）由（2）图可知，FE=$\frac{1}{2}$BA=$\frac{1}{2}$l，
OD=DF-FE-EO=h-$\frac{1}{2}$l-$\frac{1}{2}$h=$\frac{1}{2}$（h-l）．
答：镜子的下边缘离地的高度是$\frac{1}{2}$（h-l）．镜长至少为$\frac{1}{2}$h．

点评 该题考查根据平面镜成像特点的原理图解决实际问题的能力，需要注意的是平面镜的位置应满足：镜的上端E点应在人的头顶和眼睛之间距离的中点，否则也无法看到全身的像．