阅读下列材料：
某同学在计算3（4+1）（4²+1）时，把4写成4-1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（4²+1）=（4-1）（4+1）（4²+1）=（4²-1）（4²+1）=16²-1。很受启发，后来在求（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）的值时，又改造此法，将乘积式前面乘以1，且把1写为2-1得（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）…（2²⁰⁰⁴+1）=…=（2²⁰⁰⁴-1）（2²⁰⁰⁴+1）=2⁴⁰⁰⁸-1。
回答下列问题：
（1）请借鉴该同学的经验，计算：；
（2）借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：
。

计算下列各题：
（1）（a-1）（a+1）=__________
         （a-1）（a²+a+1）=__________
         （a-1）（a³+a²+a+1）=_________
            ……
根据前面各式的规律，请你写出：
（a-1）（aⁿ+a^n-1+a^n-2+…+a³+a²+a+1）=__________；
（2）利用（1）的结论，计算：
2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2²+2+1

让我们轻松一下，做一个数字游戏。第一步：取一个自然数n₁=5，计算n₁²+1得a₁；第二步：算出a₁的各位数字之和得n₂，计算得n₂²+1得a₂；第三步：算出a₂的各位数字之和得n₃，计算n₃²+1得a₃；……依次类推：则a₂₀₀₈=（    ）。

表2是从表1中截取的一部分，则a=（    ）。

（1）有自然数列：0，1，2，3，4，5，6，…
①按顺序从第2个数数到第6个数，共数了_________个数；
②按顺序从第m个数数到第n个数，共数了________个数;
（2）对于奇数数列：1，3，5，7，9，…
按顺序从数3数到数19，共数了_________个数；
（3）对于整百数列：100，200，300，400，500，…
按顺序从数500数到数2000，共数了__________个数。

试验与探究：我们知道分数写为小数即，反之，无限循环小数写成分数即。一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式。现在就以为例进行讨论：设=x，由=0.7777…，可知，10x-x=7.777… -0.777… =7，即10x-x=7解方程得x=， 于是得，=。
请仿照上述例题完成下列各题：
（1）请你能把无限循环小数写成分数，即=_________；
（2）你能化无限循环小数为分数吗？请仿照上述例子求解之。

a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数。如：2的差倒数是=-1，-1的差倒数是。已知a₁=-，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推，a₂₀₁₁ 的差倒数=（    ）。

规律探求，观察=2，即=2；=3，即=3。
（1）猜想等于什么，并通过计算验证你的猜想；
（2）写出符合这一规律的一般等式。

阅读下列解题过程：

。
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出式子_________；
（2）利用上面所提供的解法，请化简
。

设有k个自然数a₁，a₂，…，a_k满足条件1≤a₁<a₂<…<a_k≤50，并且任意两个数的和都不能被7整除，那么这些自然数的个数k最多为（    ）。