【题目】如图，，平分，平分，，相交于点，，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求的长．

A. 1 B. C. D.

问题背景：

我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢?

已知：如图1，在中，分别是的中点．

求证：

问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一线段长的一半．所以可以用“倍长法”将延长一倍：延长到，使得，连接这样只需证明，且．由于是的中点，容易证明四边形、四边形是平行四边形，证明．．．

问题解决：

上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是_____． (填入选项前的字母代号即可)

A．数形结合思想 B．转化思想 C．分类讨论思想 D．方程思想

证明四边形是平行四边形的依据是

反思交流：

“智慧小组”在证明中位线定理时，在图1的基础上追加了如上辅助线作法：如图3，分别过点作的垂线，垂足分别为，．．

请你根据“智慧小组”添加的辅助线，证明三角形的中位线定理．

方法迁移：

如图4、四边形和都是正方形，是的中点．求证：

【题目】如图，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D.

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，S是否有最大值？如有，请求出最大值，没有请说明理由.

（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；

（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B（A在B左侧）两点， 一次函数y=-x+4与坐标轴分别交于点C、D，与抛物线交于点M、N，其中点M的横坐标是.

（1）求出点C、D的坐标；

（2）求抛物线的表达式以及点A、B的坐标；

（3）在平面内存在动点P（P不与A，B重合），满足∠APB为直角，动点P到直线CD的距离是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值的结果；如果没有，请说明理由。

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O半径为4，∠D=30°，求图中阴影部分的面积（结果用含π和根号的式子表示）．

已知在平面内有两点，，其两点间的距离公式为；同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或.

（1）已知点A（2，4），B（-2，1），则AB=__________；

（2）已知点C，D在平行于y轴的直线上，点C的纵坐标为4，点D的纵坐标为-2，则CD=__________；

（3）已知点P（3，1）和（1）中的点A，B，判断线段PA，PB，AB中哪两条线段的长是相等的？并说明理由．

【题目】问题探究：在边长为的正方形中，对角线、交于点．

探究：如图，若点是对角线上任意一点，则线段的长的取值范围是__________；

探究：如图，若点是内任意一点，点、分别是边和对角线上的两个动点，则当 的值在探究中的取值范围内变化时， 的周长是否存在最小值？如果存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由；

问题解决：如图，在边长为的正方形中，点是内任意一点，且，点、分别是边和对角线上的两个动点，则当的周长取到最小值时，求四边形面积的最大值．

【题目】已知，如图，四边形中，，，，且，

试求：（1）的度数；（2）四边形的面积（结果保留根号）；