题目内容
【题目】问题探究：在边长为
的正方形
中，对角线
、
交于点
．
探究
：如图
，若点
是对角线
上任意一点，则线段
的长的取值范围是__________；
探究
：如图
，若点
是
内任意一点，点
、
分别是
边和对角线
上的两个动点，则当
的值在探究
中的取值范围内变化时， 
的周长是否存在最小值？如果存在，请求出
周长的最小值，若不存在，请说明理由；
问题解决：如图
，在边长为
的正方形
中，点
是
内任意一点，且
，点
、
分别是
边和对角线
上的两个动点，则当
的周长取到最小值时，求四边形
面积的最大值．
【答案】（
）
；（
）存在，2；（3）
.
【解析】试题分析：(1)当P与O重合时，PA的值最小，最小值为
；当P与B或D重合时，PA的值最大，最大值为4，即可得线段
的长的取值范围；(2)存在.如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M,交AC于N，连接AE、AF、PA.由PM+MN+PN=EM+NM+NF=EF ，推出点P位置确定时，此时△PMN的周长最小，最小值为线段EF的长，由∠PAM=∠EAM，∠PAN=∠FAN，∠BAC=45°，推出∠EAF=2∠BAC=90°，由PA=PE=PF，推出△EAF 是等腰直角三角形,由PA的最小值为
，可得线段EF的最小值为2，由此即可解决问题；(3)如图3中，在图2的基础上,以A为圆心AB为半径作⊙A ,PA交EF于点O.由△MAP≌△MAE, △NAP≌△NAF，推出
，由此可以知道△AMN 的面积最小时,四边形AMPN的面积最大.
试题解析：
（1）图1中,
∵四边形ABCD是正方形,边长为4,
∴AC⊥BD,AC=BD=4
当P与O重合时，PA的值最小，最小值为2
,
当P与B或D重合时,PA的值最大,最大值为4,
∴
；
(2)存在.
理由：如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M，交AC于N，连接AE、AF、PA.
∵PM+MN+PN=EM+NM+NF=EF，
∴点P位置确定时，此时的周长最小，最小值为线段EF的长，
∵∠PAM=∠EAM，∠PAN=∠FAN，∠BAC=45°，
∴∠EAF=2∠BAC=90°，
∵PA=PE=PF,
∴△EAF是等腰直角三角形,
∵PA的最小值为
,
∴线段EF的最小值为2,
∴△PMN的周长的最小值为2.
(3)如图3中，在图2的基础上，以A为圆心AB为半径作⊙A，PA交EF于点O.
根据题意点P在上⊙A，
∵△MAP≌△MAE, △NAP≌△NAF，
∴
∵PA=AE=AF=4,
∴
=8.
∴△AMN的面积最小时，四边形AMPN的面积最大，
易知当PA⊥MN时, △AMN 的面积最小，此时OA=
，OM=ON=OP=4-
,
∴MN=8-4
,
∴
,
∴四边形AMPN的面积的最大值=
.
