4．在平面直角坐标系中.等腰Rt△OAB斜边OB在x轴重合.∠OAB=90°.OA=AB.点A的坐标为(4.4).点C从原点O出发沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.连接AC.并以AC为一腰——青夏教育精英家教网——

4．在平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB斜边OB在x轴重合，∠OAB=90°，OA=AB，点A的坐标为（4，4），点C从原点O出发沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接AC，并以AC为一腰按逆时针顺序作等腰Rt△CAD，使∠CAD=90°，AC=AD，连接DB．
（1）求点B的坐标；
（2）设点C的运动时间为t秒，在点C的运动过程中，当t为何值时，使得线段CB：OC=1：3，求出t值及△ACD的面积，并写出点D的坐标；
（3）当t为何值时，当A、B、D为顶点的△ABD为等腰直角三角形？若存在请求出t值，并求出D点坐标；若不存在请说明理由．

如图所示，已知锐角△ABC的外接圆半径R=1，∠BAC=60°，△ABC的垂心和外心分别为H、O，连接OH、BC交于点P
（1）求凹四边形ABHC的面积；
（2）求PO•OH的值．

如图，在平面直角坐标系中，函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{3}$．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

1．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=16，BD=12，现有两动点M、N分别从A、C同时出发，点M沿线段AB向终点B运动，点N沿折线C-D-A向终点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为x（s）．
（1）填空：AB=10；S_菱形ABCD=96；
（2）运动过程中，若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位，连接AN、MN，记△AMN与△AOB的重叠部分面积为S，当点N运动到与直线AC的距离为1.8时，求S的值；
（3）运动过程中，若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒a个单位（其中a＜$\frac{10}{3}$），当x=6时在平面内存在点E使得以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a的值．

20．判定一个三角形是不是等腰三角形，我们经常利用以下的判定方法：“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，请你利用以上判定方法解决下列问题
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为β（0°＜β＜180°），得到△A′B′C
（1）当旋转角为β=20°，∠A′B′C=30°；
（2）当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D，求证：D是A′B′的中点；
（3）如图2，E是AC边上的点，且AE=$\frac{1}{3}$AC，P是A′B′边上的点，且∠A′PC=60°，连接EP，已知AC=α，当β=120°时，EP长度最大，最大值为$\frac{5}{3}$a．

19．设凸四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，△OAB，△OBC，△OCD，△ODA的重心分别为E，F，G，H，则S_EFGH：S_ABCD=$\frac{2}{9}$．

如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（-2，0）．
（1）求抛物线的解析式及B、C两点的坐标；
（2）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，P是直线BC上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作y轴的平行线交直线BC下方的抛物线于点E，当PE达到最长时，求点P的坐标；
（3）点Q是抛物线对称轴上一动点，当△PAQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，求点P的坐标．

16．在四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∠ADC和∠BCD的平分线交于点O，
当AB∥CD时（如图1），易证OA=OB；
当AB与CD不平行（如图2，图3）时，其他条件不变，线段OA，OB之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图2的猜想给予证明．

15．在直角坐标系中，点A是抛物线y=x²在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、
OB为边构造矩形AOBC．
（1）如图1，当点A的横坐标为-1时，矩形AOBC是正方形；
（2）如图2，当点A的横坐标为-$\frac{1}{2}$，B的横坐标为2时，将抛物线y=x²作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x²，试判断抛物线y=-x²经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．

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