Question

1．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=16，BD=12，现有两动点M、N分别从A、C同时出发，点M沿线段AB向终点B运动，点N沿折线C-D-A向终点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为x（s）．
（1）填空：AB=10；S_菱形ABCD=96；
（2）运动过程中，若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位，连接AN、MN，记△AMN与△AOB的重叠部分面积为S，当点N运动到与直线AC的距离为1.8时，求S的值；
（3）运动过程中，若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒a个单位（其中a＜$\frac{10}{3}$），当x=6时在平面内存在点E使得以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a的值．

Answer 1

分析 （1）AB由勾股定理直接求出，菱形面积为对角线之积的一半．
（2）分两种情况：N在CD上和N在AD上．画出图形，找到重叠部分的几何形状．两种情况重叠部分都是三角形，因此算出各自的底和高即可．
（3）x=6，时间固定，AM的长度也就固定，A、M、N、E四点要形成菱形，分两大类情况，第一类以AM为边，这种情况可以画两种菱形；第二类以AM为对角线，只有一种．因此共三种情况，分别计算．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点O，AC=16，BD=12，
∴AO=CO=8，BO=DO=6，AC⊥BD，
∴AB=10，
菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$×12×16=96．
（2）①当N在CD上时，如图2-1所示，

过点N作NH⊥AC于H，则NH=1.8，过点M作MG⊥AC于G，连接MN交AC于点F，连接AN，
∵AB∥CD，
∴△AFM∽△CFN，
∵$\frac{CN}{AM}=\frac{2}{1}$，
∴$\frac{NH}{MG}=\frac{CF}{AF}=\frac{2}{1}$，
∴AF=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{16}{3}$，
MG=$\frac{1}{2}$NH=0.9=$\frac{9}{10}$，
∴S△AMF=$\frac{1}{2}$×AF×MG=2.4．
②当N在AD上时，如图2-2所示，

过点N作NH⊥AC于H，则NH=1.8，过点M作MG⊥AC于G，连接MN交AC于点F，连接AN，
∵$\frac{AH}{AO}=\frac{AN}{AD}=\frac{NH}{OD}$
∴AN=3，AH=2.4，
t=$\frac{AD+CD-AN}{2}$=$\frac{17}{2}$，
∴AM=$\frac{17}{2}$，
∵$\frac{AG}{AO}=\frac{AM}{AB}=\frac{MG}{OB}$，
∴AG=6.8，MG=5.1，
∴GH=AG-AH=4.4，
∵$\frac{HF}{GF}=\frac{NH}{MG}=\frac{1.8}{5.1}=\frac{6}{17}$，
∴HF=$\frac{6}{23}$GH=$\frac{132}{115}$，
∴AF=AH+HF=2.4+$\frac{132}{115}$=$\frac{408}{115}$，
∴S△AMF=$\frac{1}{2}$×AF×MG=$\frac{1}{2}×\frac{408}{115}×\frac{51}{10}$=$\frac{5202}{525}$．
（3）x=6时，AM=6，
①如图3-1，四边形AMEN为菱形，

∴AN=AM=6，
∴ND+CD=20-6=14，
∴a=$\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$．
②如图3-2，AENM为菱形，EM交AN于点R，作DP垂直BC于P，

∵菱形面积为96，
∴DP=9.6，
∴CP=2.8，
∴$\frac{AR}{AM}=\frac{CP}{CD}$，
∴AR=1.68，
∴AN=3.36，
∴a=（ND+CD）÷6=$\frac{208}{75}$，
③如图3-3，AEMN为菱形，EN交AM于点T，作BS垂直CD于S，

则AT=MT=3，
∴BT=NS=10-3=7，
∵BS=9.6，
∴CS=2.8，
∴CN=NS+CS=9.8，
∴a=CN÷6=$\frac{49}{30}$．
综上所述，a的取值有$\frac{7}{3}$、$\frac{208}{75}$、$\frac{49}{30}$．

点评 本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、面积计算，分类讨论等重要知识点和技能，综合性和技巧性很强，计算量也较大，对学生的能力要求较高，是一道经典压轴题．