Question

3．如图所示，已知锐角△ABC的外接圆半径R=1，∠BAC=60°，△ABC的垂心和外心分别为H、O，连接OH、BC交于点P
（1）求凹四边形ABHC的面积；
（2）求PO•OH的值．

Answer 1

分析 （1）由于AH垂直BC，则只需求出AH和BC的长度即可．又告诉了∠A=60°，则∠BOC=120°，结合半径长度自然求出BC．连接BO并延长交⊙O于点G，连接AG、CG，可证AGCH是平行四边形，从而得出AH是OM的2倍，问题得解．
（2）先证得∠BHC=120°，则可得出B、C、H、O四点共圆，从而得出∠CHP=30°，进而△OHC∽△OCP是很显然的事．

解答 解：（1）如图：连接BO并延长交⊙O于点G，连接AG、CG、CO，延长CH交AB于F，延长BH交AC于E，延长AH交BC于N，作OM⊥BC于M．

∵BG是直径，
∴GA⊥AB，GC⊥BC，
∵H为垂心，
∴BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，
∴GA∥CH，GC∥AH，
∴AGCH是平行四边形，
∴AG=GC，
∵∠BAC=60°，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=$\sqrt{3}$，
又∵OM=$\frac{1}{2}$CG，
∴AH=2OM=1，
设凹四边形的面积为S，则S=S△AHB+S△AHC=$\frac{1}{2}$×AH×BN+$\frac{1}{2}$×AH×CN=$\frac{1}{2}$×AH×BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（2）∵BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∠BAC=60°，
∴∠ACF=30°，
∴∠CHE=60°，
∴∠BHC=120°，
∴B、C、H、O四点共圆，
∵∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠CHP=∠OBC=30°，
∴∠OHC=∠OCP=150°，
∴△OHC∽△OCP，
∴OH•OP=OC²=1．

点评 本题考查了垂心的定义及性质、圆心角与圆周角的性质、四点共圆的判定及性质、相似三角形的判定及性质、面积计算等重要知识点．正确作出辅助线是关键．第一问当中，AH=2OM是一个重要结论，可记住并会推导，对解决类似题目有重要意义．