Question

20．判定一个三角形是不是等腰三角形，我们经常利用以下的判定方法：“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，请你利用以上判定方法解决下列问题
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为β（0°＜β＜180°），得到△A′B′C
（1）当旋转角为β=20°，∠A′B′C=30°；
（2）当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D，求证：D是A′B′的中点；
（3）如图2，E是AC边上的点，且AE=$\frac{1}{3}$AC，P是A′B′边上的点，且∠A′PC=60°，连接EP，已知AC=α，当β=120°时，EP长度最大，最大值为$\frac{5}{3}$a．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质，旋转前后两个图形全等，则∠A'B'C=∠B，据此求解；
（2）根据平行的性质证明∠BCB'=∠B'，然后证明∠A'DC=∠A'，根据等角对等边即可证得；
（3）∠A′PC=60°时易证△A'CP是等边三角形，当A、C、P在一条直线上时，EP的长度最大，据此即可求解．

解答 解：（1）∠A'B'C=∠B=30°；
（2）∵AB∥CB′，
∴∠BCB'=∠B=30°，
又∵∠B'=30°，
∴∠BCB'=∠B'=30°，∠A'DC=∠BCB'+∠B'=60°，
∴CD=B'D，
∵∠CA'D=∠A'DC=60°，
∴A'D=CD，
∴A'D=B'D，即D是A'B'的中点；
（3）∵∠A′PC=60°，∠A'=∠A=60°，
∴△A'CP是等边三角形．
∴CP=CA'=a，∠A'CP=60°，
∴当β=180°-60°=120°时，EP长度最大，最大值为$\frac{2}{3}$a+a=$\frac{5}{3}$a．
故答案是：120，$\frac{5}{3}$a．

点评 本题考查了图形的旋转，旋转前后的两个图形全等，理解当A、C、P在一条直线上时，EP的长度最大是解决本题的关键．