16．如图所示.I为△ABC的内心.M为BC的中点.四边形IQDM为平行四边形.求证:∠QMD=90°．——青夏教育精英家教网——

如图所示，I为△ABC的内心，M为BC的中点，四边形IQDM为平行四边形，求证：∠QMD=90°．

如图梯形ABCD中，AD∥BC，O为对角线的交点，F为OB上一点，E为CF上一点，S_△AOB=10，S_△BFE=3，S_△BEC=9，S_△OEC=6，试求梯形ABCD的面积．

已知抛物线y=ax²+x+c（a≠0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上有一点P，且∠EAO+∠EPO=∠α，当tanα=2时，求点P的坐标．

如图，抛物线y=ax²+bx+c过原点，且与直线y=mx+n交于A（8，0）、B（4，-3）两点，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）当t为何值时，△MAN为等腰三角形；
（3）当t为何值时，以线段PN为直径的圆与x轴相切？并求此时圆的直径PN的长．

已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

11．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图1，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．
（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）将图中“蛋圆”整体向上平移，并使得抛物线的顶点与点（1，-2）重合，从而形成一个“阿拉伯人”的卡通形象，求这个“阿拉伯人”络缌部分（图2中阴影部分）的面积．

10．如图1，已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于点A（-4，0）和B（1，0），与y轴交于C点．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的长最大，并求此时P点的坐标；
（3）设E是线段AB上的动点，作EF∥AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面积的2倍时，求E点的坐标．

如图，在直角坐标系中，直线y=-x+k经过抛物线y=ax²+bx+c的顶点A（-1，5）和另一点B（8，-4）．
（1）求抛物线的解析式和k的值；
（2）动点P是直线AB上方抛物线上一点（不与A，B重合），过点P作PD⊥AB于D，作PC⊥x轴于C，交直线AB与E．
①设△PDE的周长为L，点P的横坐标为x，求L与x之间的函数关系式；
②问是否存在一点P，使得以E为圆心，PD为半径的圆与两坐标轴相切？若存在请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在正方形ABCD中，AB=4，将△ADC绕点A顺时针旋转α（0＜α＜45°），记旋转后的三角形为△AD′C′，过点B作BE⊥AC′于点E，延长BE交射线AD′于点F，连接DF，取AB中点H，连接HE，在旋转过程中，当HE⊥BD时，（BE+DF）²的值为8+4$\sqrt{2}$．

如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

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