Question

13．如图，抛物线y=ax²+bx+c过原点，且与直线y=mx+n交于A（8，0）、B（4，-3）两点，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）当t为何值时，△MAN为等腰三角形；
（3）当t为何值时，以线段PN为直径的圆与x轴相切？并求此时圆的直径PN的长．

Answer 1

分析 （1）直接根据待定系数法求出二次函数与一次函数的解析式；
（2）若△MAN为等腰三角形，则只能是∠NMA=∠NAM，证明三角形△OPM∽△OAP，进而求出OM的长，即t的值；
（3）存在以线段PN为直径的圆与x轴相切，设以PN为直径作圆Q，若圆Q与x轴相切，则切点为M，连接MQ，根据△AMQ∽△AOP求出QM的长，再结合勾股定理求出AM的长，进而求出OM的值，即t的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过原点且经过A（8，0）、B（4，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{64a+8b+c=0}\\{16a+4b+c=-3}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{16}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{3}{16}$x²-$\frac{3}{2}$x，
∵直线y=mx+n交于A（8，0）、B（4，-3）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{8m+n=0}\\{4m+n=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{4}}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=$\frac{3}{4}$x-6；
（2）若△MAN为等腰三角形，则只能是∠NMA=∠NAM，
∵∠PMN=90°，
∴∠AMN+∠PMO=90°，
∵∠OPM+∠OMP=90°，
∴∠OPM=∠AMN，
∵∠NMA=∠NAM，
∴∠OPM=∠MAN，
∴△OPM∽△OAP，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{OM}{OP}$，
∴OM=$\frac{36}{8}$=$\frac{9}{2}$，
即t=$\frac{9}{2}$时，△MAN为等腰三角形；
（3）存在以线段PN为直径的圆与x轴相切，
设以PN为直径作圆Q，
若圆Q与x轴相切，则切点为M，连接MQ，
∵△AMQ∽△AOP，
∴$\frac{QM}{PO}$=$\frac{AQ}{AP}$，
∴$\frac{QM}{PO}$=$\frac{AP-QM}{AP}$，
∴$\frac{QM}{6}$=$\frac{10-QM}{10}$，
∴QM=$\frac{15}{4}$，
∴AQ=10-$\frac{15}{4}$=$\frac{25}{4}$，
AM=$\sqrt{（\frac{25}{4}）^{2}-（\frac{15}{4}）^{2}}$=5，
∴OM=3，
即t=3时，线段PN为直径的圆与x轴相切
此时圆的直径PN=2QM=$\frac{15}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质以及圆的相关知识，解答本题的关键是多次利用相似三角形的性质求线段的长，此题有一定的难度．