Question

12．已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案；
（2）首先求出直线BP的解析式，进而利用当BD=OP时，得出x的值，即当x=$\frac{2}{5}$时四边形OPBD为等腰梯形．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，由题意得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=4}\\{c=12}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-8}\\{c=12}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=x²-8x+12，
点P的坐标为（4，-4）；

（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形；
理由：如图所示：
当y=0时，x²-8x+12=0，
解得：x₁=2，x₂=6，
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BP的解析式为y=kx+m，
则$\left\{\begin{array}{l}{6k+m=0}\\{4k+m=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{m=-12}\end{array}\right.$，
∴直线BP的解析式为y=2x-12，
∴直线OD∥BP，
∵顶点坐标P（4，-4），
∴OP=4$\sqrt{2}$，
设D（x，2x），则BD²=（2x）²+（6-x）²，
当BD=OP时，（2x）²+（6-x）²=32，
解得x₁=$\frac{2}{5}$，x₂=2；，
当x=2时，OD=BP=2$\sqrt{5}$，四边形OPBD为平行四边形，舍去，
∴当x=$\frac{2}{5}$时四边形OPBD为等腰梯形，
∴当D（$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$）时，四边形OPBD为等腰梯形．

点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及等腰梯形的性质与判定以及待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练应用等腰梯形的判定与性质是解题关键．