8．阅读下列材料:小华遇到这样一个问题:已知:如图1.在△ABC中.三边的长分别为AB=$\sqrt{10}$.AC=$\sqrt{2}$.BC=2.求∠A的正切值．小华是这样解决问题的:如图2所示.——青夏教育精英家教网——

8．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{2}$，BC=2，求∠A的正切值．
小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．

（1）图2中与∠A相等的角为∠D，∠A的正切值为$\frac{1}{2}$；
（2）参考小华解决问题的方法，利用图4中的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）
解决问题：如图3，在△GHK中，HK=2，HG=$2\sqrt{10}$，KG=$2\sqrt{5}$，延长HK，求∠α+∠β的度数．

7．已知矩形ABCD的一条边AD=8cm，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
（1）如图1，若点P恰好是CD边的中点，
①判断△ADP与△APO是否相似，并说明理由；
②求边AB的长；
（2）如图2，若△OCP与△PDA的面积比为1：4，动点G从点D出发以每秒1cm的速度沿DP向终点P运动，同时动点H从点P出发以每秒2cm的速度沿PA向终点A运动，运动的时间为t（0＜t＜5），
①求边AB的长；
②问是否存在某一时刻t，使四边形ADGH的面积S有最小值？若存在，求出S的最小值；若不存在，请说明理由．

6．已知二次函数y=（t-4）x²-（2t-5）x+4在x=0与x=5的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，一次函数y=kx+b经过B，C两点，求一次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，过动点D（0，m）作直线l∥x轴，其中m＞-2．将二次函数图象在直线l下方的部分沿直线l向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=kx+b与新图象M恰有两个公共点，请直接写出m的取值范围．

5．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为同相似，如图1，△A₁B₁C₁∽△ABC，则称△A₁B₁C₁与△ABC互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，△A₂B₂C₂∽△ABC，则称△A₂B₂C₂与△ABC互为异相似．

（1）在图3、图4和图5中，△ADE∽△ABC，△HXG∽△HGF，△OPQ∽△OMN，其中△ADE与△ABC互为同相似，△HXG与△HGF互为逆相似，△OPQ与△OMN互为同相似；

（2）在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P为AC边上一定点（不与点A，C重合），过这个定点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为异相似，符合条件的直线有1或2条．

4．（1）操作，如图1，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图1画出一对以点O为对称中心的全等三角形．
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：
（2）探究一：如图2，在是变形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论：
（3）探究二：如图3，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB，若AB=a，CF=b，求DF的长度（用含a、b的式子表示）．

如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，BD=4$\sqrt{3}$．
（1）求证：∠C=60°；
（2）连接AC交BD于E，若E为AC的中点，且AB=$\sqrt{2}$AE，求四边形ABCD的面积．

2．已知，如图（1），△ABC、△AED均为等腰Rt△（其顶点A、B、E重合），且∠BAC=∠AED=90°，O为BC的中点，F为AD的中点，连OF．
（1）如图（1），此时$\frac{OF}{EC}$的值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
将△AED绕点A逆时针旋转45°，如图（2），此时$\frac{OF}{EC}$的值=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）将△AED绕点A继续旋转如图（3），此时$\frac{OF}{EC}$的值又是多少？试证明你的结论？
（3）设在旋转过程中，边AD、AE交线段BC于M、N，如图（4），将△ABM沿直线AD折叠，设B的对应点为B₁，连NB₁，请完成图（4），并判断△MB₁N的形状直角三角形（不需证明）．

1．已知△ABC中，D、E分别在BC、AB上，且∠ACB=∠DEB=90°，当M为AD的中点时，连CM、EM．

（1）①如图1，若∠ABC=45°，则MC=ME，∠CME=90°；
②如图2，若∠ABC=30°，则MC与ME的数量关系为MC=ME，∠CME=120°；
（2）将图2中的△DEB绕点B逆时针旋转30°得到图3，请探究MC与ME的数量关系和∠CME的大小并给予证明；
（3）如图4，在△ABC和△BDE中，∠ACB=∠DEB=90°，∠ABC=∠DBE=α，点M仍为AD的中点，现将△BDE绕点B逆时针旋转β（0°＜β＜90°），请探究MC与ME的数量关系和∠CME的大小，并给予证明．

11．如果a，b都是有理数，且满足a+2b+$\sqrt{2}$=4+（a-b）$\sqrt{2}$，求a，b的值．

10．解方程组：
（1）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=7}\\{\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14}\end{array}\right.$；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x-1}{5}+\frac{3y-2}{4}=2}\\{\frac{3x+1}{3}-\frac{3y+2}{4}=0}\end{array}\right.$．

0 306932 306940 306946 306950 306956 306958 306962 306968 306970 306976 306982 306986 306988 306992 306998 307000 307006 307010 307012 307016 307018 307022 307024 307026 307027 307028 307030 307031 307032 307034 307036 307040 307042 307046 307048 307052 307058 307060 307066 307070 307072 307076 307082 307088 307090 307096 307100 307102 307108 307112 307118 307126 366461